图的简介

图（Graph）结构是一种非线性的数据结构，图在实际生活中有很多例子，比如交通运输网，地铁网络，社交网络，计算机中的状态执行（自动机）等等都可以抽象成图结构。图结构比树结构复杂的非线性结构。

图结构构成

1.顶点（vertex）：图中的数据元素，如图一。

2.边（edge）：图中连接这些顶点的线，如图一。

图一

所有的顶点构成一个顶点集合，所有的边构成边的集合，一个完整的图结构就是由顶点集合和边集合组成。图结构在数学上记为以下形式：

G=(V,E)   或者   G=(V(G),E(G))

其中 V（G）表示图结构所有顶点的集合，顶点可以用不同的数字或者字母来表示。E（G）是图结构中所有边的集合，每条边由所连接的两个顶点来表示。

图结构中顶点集合V（G）不能为空，必须包含一个顶点，而图结构边集合可以为空，表示没有边。

图的基本概念

1.无向图（undirected graph）

       如果一个图结构中，所有的边都没有方向性，那么这种图便称为无向图。典型的无向图，如图二所示。由于无向图中的边没有方向性，这样我们在表示边的时候对两个顶点的顺序没有要求。例如顶点VI和顶点V5之间的边，可以表示为(V2， V6),也可以表示为(V6，V2)。

图二  无向图

对于图二无向图，对应的顶点集合和边集合如下：

V（G）= {V1，V2，V3，V4，V5，V6}

E（G）= {（V1,V2），（V1，V3），（V2，V6），（V2，V5），（V2，V4），（V4，V3），（V3，V5），（V5，V6）}

2.有向图（directed graph）

一个图结构中，边是有方向性的，那么这种图就称为有向图，如图三所示。由于图的边有方向性，我们在表示边的时候对两个顶点的顺序就有要求。我们采用尖括号表示有向边，例如<V2，V6>表示从顶点V2到顶点V6，而<V6，V2>表示顶点V6到顶点V2。

图三  有向图

对于图三有向图，对应的顶点集合和边集合如下：

V（G）= {V1，V2，V3，V4，V5，V6}

E（G）= {<V2，V1>，<V3，V1>，<V4，V3>，<V4，V2>，<V3，V5>，<V5，V3>，<V2，V5>，<V6，V5>，<V2，V6>，<V6，V2>}

*注意：无向图也可以理解成一个特殊的有向图，就是边互相指向对方节点，A指向B，B又指向A。

3.混合图（mixed graph）

一个图结构中，边同时有的是有方向性有的是无方向型的图。

在生活中混合图这种情况比较常见，比如城市道路中有些道路是单向通行，有的是双向通行。

4.顶点的度

连接顶点的边的数量称为该顶点的度。顶点的度在有向图和无向图中具有不同的表示。对于无向图，一个顶点V的度比较简单，其是连接该顶点的边的数量，记为D(V)。 例如，图二所示的无向图中，顶点V5的度为3。而V6的度为2。

     对于有向图要稍复杂些，根据连接顶点V的边的方向性，一个顶点的度有入度和出度之分。

•  入度是以该顶点为端点的入边数量， 记为ID(V)。
•  出度是以该顶点为端点的出边数量， 记为OD(V)。

     这样，有向图中，一个顶点V的总度便是入度和出度之和，即D(V) = ID(V) + OD(V)。例如，图三所示的有向图中，顶点V5的入度为3,出度为1，因此，顶点V5的总度为4。

5.邻接顶点

邻接顶点是指图结构中一条边的两个顶点。 邻接顶点在有向图和无向图中具有不同的表示。对于无向图，邻接顶点比较简单。例如，在图二所示的无向图中，顶点V2和顶点V6互为邻接顶点，顶点V2和顶点V5互为邻接顶点等。

对于有向图要稍复杂些，根据连接顶点V的边的方向性，两个顶点分别称为起始顶点(起点或始点)和结束顶点(终点)。有向图的邻接顶点分为两类：

• 入边邻接顶点：连接该顶点的边中的起始顶点。例如，对于组成<V2，V6>这条边的两个顶点，V2是V6的入边邻接顶点。
• 出边邻接顶点：连接该顶点的边中的结束顶点。例如，对于组成<V2，V6>这条边的两个顶点，V6是V2的出边邻接顶点。

6.无向完全图

如果在一个无向图中， 每两个顶点之间都存在条边，那么这种图结构称为无向完全图。典型的无向完全图，如图四所示。

图四  无向完全图

理论上可以证明，对于一个包含n个顶点的无向完全图，其总边数为n(n-1)/2。

比如图四总边数就是5，例子：5*(5-1)/2=10。

7.有向完全图

如果在一个有向图中，每两个顶点之间都存在方向相反的两条边，那么这种图结构称为有向完全图。典型的有向完全图，如图五所示。

图五 有向完全图

理论上可以证明，对于一个包含n的顶点的有向完全图，其总的边数为：n(n-1)。

这是无向完全图的两倍，这个也很好理解，因为每两个顶点之间需要两条边。

8.有向无环图（DAG图）

如果一个有向图无法从某个顶点出发经过若干条边回到该点，则这个图是一个有向无环图。有向无环图可以利用在区块链技术中。

9.无权图和有权图

这里的权可以理解成一个数值，就是说节点与节点之间这个边是否有一个数值与它对应，对于无权图来说这个边不需要具体的值。对于有权图节点与节点之间的关系可能需要某个值来表示，比如这个数值能代表两个顶点间的距离，或者从一个顶点到另一个顶点的时间，所以这时候这个边的值就是代表着两个节点之间的关系，这种图被称为有权图；

10.图的连通性

图的每个节点不一定每个节点都会被边连接起来，所以这就涉及到图的连通性，如下图：

可以发现上面这个图不是完全连通的。

11.简单图 ( Simple Graph)

对于节点与节点之间存在两种边，这两种边相对比较特殊

1.自环边（self-loop）：节点自身的边，自己指向自己。

2.平行边（parallel-edges）：两个节点之间存在多个边相连接。

这两种边都是有意义的，比如从A城市到B城市可能不仅仅有一条路，比如有三条路，这样平行边就可以用到这种情况。不过这两种边在算法设计上会加大实现的难度。而简单图就是不考虑这两种边。